Deducción de la ley de Snell usando el principio de Fermat
El principio de Fermat en óptica es un principio de tipo extremal. Un principio extremal es aquel que dice que la naturaleza se comporta haciendo que ciertas cantidades sean máximas o mínimas. Existen muchos de estos principios en la naturaleza, por ejemplo, el que dice que las gotas son esféricas porque de esta manera se minimiza la superficie y por tanto, las moléculas en la superficie de la gota almacenan la menor energía posible.
El principio de Fermat establece que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro, al cambiar de medio, es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo. Para entender que significa esto, véase el siguiente dibujo:
En él la luz va a ir del punto B con coordenadas (XB, YB) al punto A (con coordenadas XA, YA), por alguno de los infinitos caminos posibles (aquí sólo dibujamos algunos) ¿Cuál de todos estos caminos escoge el rayo de luz? el principio de Fermat sirve para contestar: el que le va a tomar menor tiempo.
Para verlo, calculemos el tiempo que le lleva al rayo ir B hacia A, pasando por un punto arbitrario P, luego minimicemos derivando e igualando a cero y veamos que este es el trayecto real de la luz (esto es sí llevas calculo, si no, sáltate este paso hasta la comprobación, no perderás nada del entendimiento de lo que significa el principio de Fermat).
Para deducir la ecuación del tiempo total de viaje, nos basaremos en el siguiente dibujo, en donde ya escogimos un punto arbitrario en la frontera entre los dos medios, que representamos con el punto P, de coordenadas X, 0 (por cierto, la frontera se llama interfase).
El rayo viaja en el medio 1 con la velocidad v1, recorriendo la distancia BP. y por tanto tarda un tiempo t1 igual a la distancia recorrida, BP, entre la velocidad v1 (recuerda que velocidad es distancia sobre tiempo, de donde tiempo=distancia/velocidad). tenemos entonces que:
En donde usamos el teorema de Pitágoras. De manera similar para t2, el tiempo que tarda el cuerpo en llegar del punto P al punto A es:
Y por consiguiente el tiempo total para ir del punto B al punto A es t=t1+t2:
Derivando esta ecuación, mediante la regla de la cadena e igualando a cero:
o sea:
O volviendo a las distancia originales:
Si recuerdas que el seno de un ángulo se define como el cateto opuesto (XA-X ó X-XB) sobre la hipotenusa (AP o PB), la ecuación 2 se transforma en:
Esta ecuación se llama ley de Snell, en honor de su descubridor, el matemático holandés Willebrord Snel van Royen (1580-1626). La denominaron "Snell" debido a su apellido pero le pusieron dos "l" por su nombre Willebrord el cual lleva dos "l".
Sin embargo queda una pregunta aún, la condición (2) o (3) nos dice que el tiempo es un extremal, pero no que sea mínimo ¿cómo demostramos que es mínimo? con el criterio de la segunda derivada. Volviendo a derivar la ecuación (1), para lo que usamos la formula de la derivada de un cociente:
Tenemos entonces que:
Pero ¿cómo vemos que esta segunda derivada es positiva, es decir, que el tiempo es mínimo? la respuesta es hagamos el experimento y midamos. En la liga siguiente hay un video de youtube, donde se muestra el fenómeno de la refracción:
(http://www.youtube.com/watch?v=_MVvkc0mHC4)
de él extrajimos una foto y le pusimos las líneas que representan las distancias que aparecen en las ecuaciones anteriores, es decir X-XB, YB, XA-X y YA.
Medimos estas distancias en la pantalla de la computadora con una regla (esto sirve en el experimento real o en una imagen mientras esta no se distorsione, es decir, mientras se agrande o se achique en la misma proporcional horizontal y vertical). De igual forma podrías medir directamente en la imagen:
Los valores que medimos en la pantalla fueron (en cm): X-XB=5, YB=3.1, XA-X=2.4 y YA=2.7. recuerda que esto valores pueden cambiar en función de que tan amplificada o reducida este la foto, pero eso no importa siempre y cuando no se distorsione. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4), tenemos que:
De esta ecuación, como las velocidades son positivas, se ve claramente que la segunda derivada es positiva y, por el criterio de la segunda derivada, la ecuación (1) representa el tiempo mínimo para recorrer el trayecto de B hacia A.
Comprobación
¿Cómo comprobamos que esa trayectoria (es decir la que cumple la ecuación (2) o su equivalente la (3)), es en realidad la más rápida? midiendo en la foto del fenómeno (o en el experimento real) y sustituyendo en la ecuación del tiempo total. Veremos que esta trayectoria (que es la única que cumple con la ecuación (2) es la que da el menor tiempo cuando comparamos con cualquier otra trayectoria. Mira el dibujo debajo donde hemos escogido dos trayectorias diferentes a la real (la luz es la línea blanca):
En esta nueva foto hay dos posibles caminos alternativos para ir de B hacia A: pasando por el punto C (el rayo verde) o pasando por el punto D (el rayo rosa). Medimos nuevamente las distancias (en este caso las diagonales) y obtuvimos: BC=3.5, CA=6.6, BP=6, PA=3.6, BD=14 y DA=4. Hay que convertir estas distancias en centímetros a metros BC=0.035, CA=0.066, BP=0.06, PA=0.036, BD=0.14 y DA=0.04 para dividir por la velocidad de la luz en el aire (v1=300,000,000 m/s) y l velocidad de la luz en el agua (v2=225,000,000m/s):
Sustituyendo esto en la ecuación para el tiempo total tenemos, para el rayo verde:
para el rayo real, es decir el azul:
Y para el rayo rosa:
Como puede ver el tiempo (que es pequeñísimo porque la luz viaja muy rápido) es menor para la trayectoria real, al rayo azul. Eso mismo pasaría si cambia la trayectoria por cualquier otra, siempre será menor el tiempo en la trayectoria azul.
Fíjate que además que la trayectoria azul es la única que cumple con la ecuación (2). Te dejo como ejercicio que lo compruebes.
