¿Por qué los espejos curvos deberian ser parabólicos?

Tomé la imagen y desarrollé la idea a partir de un curso de óptica del MIT, disponible en: https://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-71-optics-spring-2009/

 

El principio de Fermat

Deducción de la ley de Snell usando el principio de Fermat 

El principio de Fermat en óptica es un principio de tipo extremal. Un principio extremal es aquel que dice que la naturaleza se comporta haciendo que ciertas cantidades sean máximas o mínimas. Existen muchos de estos principios en la naturaleza, por ejemplo, el que dice que las gotas son esféricas porque de esta manera se minimiza la superficie y por tanto, las moléculas en la superficie de la gota almacenan la menor energía posible. El principio de Fermat establece que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro, al cambiar de medio, es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo. Para entender que significa esto, véase el siguiente dibujo:

   

En él la luz va a ir del punto B con coordenadas (XB, YB) al punto A (con coordenadas XA, YA), por alguno de los infinitos caminos posibles (aquí sólo dibujamos algunos) ¿Cuál de todos estos caminos escoge el rayo de luz? el principio de Fermat sirve para contestar: el que le va a tomar menor tiempo. Para verlo, calculemos el tiempo que le lleva al rayo ir B hacia A, pasando por un punto arbitrario P, luego minimicemos derivando e igualando a cero y veamos que este es el trayecto real de la luz (esto es sí llevas calculo, si no, sáltate este paso hasta la comprobación, no perderás nada del entendimiento de lo que significa el principio de Fermat). Para deducir la ecuación del tiempo total de viaje, nos basaremos en el siguiente dibujo, en donde ya escogimos un punto arbitrario en la frontera entre los dos medios, que representamos con el punto P, de coordenadas X, 0 (por cierto, la frontera se llama interfase). 

El rayo viaja en el medio 1 con la velocidad v1, recorriendo la distancia BP. y por tanto tarda un tiempo t1 igual a la distancia recorrida, BP, entre la velocidad v1 (recuerda que velocidad es distancia sobre tiempo, de donde tiempo=distancia/velocidad). tenemos entonces que: 

En donde usamos el teorema de Pitágoras. De manera similar para t2, el tiempo que tarda el cuerpo en llegar del punto P al punto A es: 

Y por consiguiente el tiempo total para ir del punto B al punto A es t=t1+t2: 

Derivando esta ecuación, mediante la regla de la cadena e igualando a cero: 

o sea: 

O volviendo a las distancia originales:

Si recuerdas que el seno de un ángulo se define como el cateto opuesto (XA-X ó X-XB) sobre la hipotenusa (AP o PB), la ecuación 2 se transforma en: 

Esta ecuación se llama ley de Snell, en honor de su descubridor, el matemático holandés Willebrord Snel van Royen (1580-1626). La denominaron "Snell" debido a su apellido pero le pusieron dos "l" por su nombre Willebrord el cual lleva dos "l". Sin embargo queda una pregunta aún, la condición (2) o (3) nos dice que el tiempo es un extremal, pero no que sea mínimo ¿cómo demostramos que es mínimo? con el criterio de la segunda derivada. Volviendo a derivar la ecuación (1), para lo que usamos la formula de la derivada de un cociente: Tenemos entonces que: 

Pero ¿cómo vemos que esta segunda derivada es positiva, es decir, que el tiempo es mínimo? la respuesta es hagamos el experimento y midamos. En la liga siguiente hay un video de youtube, donde se muestra el fenómeno de la refracción: (http://www.youtube.com/watch?v=_MVvkc0mHC4) de él extrajimos una foto y le pusimos las líneas que representan las distancias que aparecen en las ecuaciones anteriores, es decir X-XB, YB, XA-X y YA. 

Medimos estas distancias en la pantalla de la computadora con una regla (esto sirve en el experimento real o en una imagen mientras esta no se distorsione, es decir, mientras se agrande o se achique en la misma proporcional horizontal y vertical). De igual forma podrías medir directamente en la imagen: Los valores que medimos en la pantalla fueron (en cm): X-XB=5, YB=3.1, XA-X=2.4 y YA=2.7. recuerda que esto valores pueden cambiar en función de que tan amplificada o reducida este la foto, pero eso no importa siempre y cuando no se distorsione. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4), tenemos que: 

De esta ecuación, como las velocidades son positivas, se ve claramente que la segunda derivada es positiva y, por el criterio de la segunda derivada, la ecuación (1) representa el tiempo mínimo para recorrer el trayecto de B hacia A. 

Comprobación 

¿Cómo comprobamos que esa trayectoria (es decir la que cumple la ecuación (2) o su equivalente la (3)), es en realidad la más rápida? midiendo en la foto del fenómeno (o en el experimento real) y sustituyendo en la ecuación del tiempo total. Veremos que esta trayectoria (que es la única que cumple con la ecuación (2) es la que da el menor tiempo cuando comparamos con cualquier otra trayectoria. Mira el dibujo debajo donde hemos escogido dos trayectorias diferentes a la real (la luz es la línea blanca): 

En esta nueva foto hay dos posibles caminos alternativos para ir de B hacia A: pasando por el punto C (el rayo verde) o pasando por el punto D (el rayo rosa). Medimos nuevamente las distancias (en este caso las diagonales) y obtuvimos: BC=3.5, CA=6.6, BP=6, PA=3.6, BD=14 y DA=4. Hay que convertir estas distancias en centímetros a metros BC=0.035, CA=0.066, BP=0.06, PA=0.036, BD=0.14 y DA=0.04 para dividir por la velocidad de la luz en el aire (v1=300,000,000 m/s) y l velocidad de la luz en el agua (v2=225,000,000m/s): 

Sustituyendo esto en la ecuación para el tiempo total tenemos, para el rayo verde: 

para el rayo real, es decir el azul: 

Y para el rayo rosa: 

Como puede ver el tiempo (que es pequeñísimo porque la luz viaja muy rápido) es menor para la trayectoria real, al rayo azul. Eso mismo pasaría si cambia la trayectoria por cualquier otra, siempre será menor el tiempo en la trayectoria azul. Fíjate que además que la trayectoria azul es la única que cumple con la ecuación (2). Te dejo como ejercicio que lo compruebes.

Esparcimiento óptico en leche

Resumen

Cuando la radiación electromagnética incide sobre una molécula o partícula, es esparcida, es decir la radiación incidente es absorbida y luego reemitida en dirección diferente a la de la radiación original. Si el tamaño de la molécula es del orden de la longitud de la onda de la luz, la reemisión no tiene preferencia por ningún color. Este fenómeno se llama esparcimiento Mie, en honor de Gustav Mie quien fue el primero en resolver el problema.

En este trabajo, usamos el esparcimiento Mie para estudiar una sus pensión de moléculas de leche en agua. Ya que el esparcimiento depende de la densidad de moléculas, podemos relacionar la concentración con cuanta luz se está esparciendo.

Caracterizamos dos tipos de leches, a diferente concentración cada una: una leche de las llamadas light, con menos concentración de grasa y una leche entera, con mayor concentración de grasa. A su vez, variamos la concentración de cada tipo de leche en la misma cantidad de agua, para graficar concentración contra esparcimiento y obtener la curva de cada tipo de leche y luego comparamos las dos graficas.

Introducción

Marco teórico

El esparcimiento es el fenómeno que consiste en que moléculas o partículas absorben la luz incidente y la reemiten en todas direcciones. Si el esparcimiento tiene preferencia por algún color, es decir si absorbe y reemite más un color que otro, se llama esparcimiento Raleigh, si absorbe y reemite todos los colores por igual se llama esparcimiento Mie. Es importante apuntar que en español también es bastante usual llamarle dispersión al esparcimiento, confusión que proviene de la traducción del inglés, donde existen las palabras scattering y dispersion, la primera sería el esparcimiento y la segunda la dispersión, es decir, la separación de la luz en sus colores constituyentes mediante un prisma o medio refractor (nos referimos a la dependencia del índice de refracción con la frecuencia); sin embargo, en español, ambas se traducen como dispersión. Si bien el término dispersión está muy extendido en la literatura científica (junto con el anglicismoscattering, que a menudo se encuentra sin traducir en textos en español), el término recomendado por la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales es esparcimiento, recomendando el uso de dispersión a la dispersión de la luz en los diversos colores que componen su espectro.

El esparcimiento Raleigh sucede cuando el tamaño de la partícula es más pequeño que la longitud de onda de la luz, el esparcimiento Mie cuando la molécula es de tamaño semejante a la longitud de onda de la luz.

El esparcimiento Raleigh es el responsable del color azul del cielo. Si las partículas existentes en la atmósfera, tienen un tamaño igual o inferior al de la longitud de onda de la luz incidente (átomos aislados o pequeñas moléculas), la onda cede parte de su energía a la corteza atómica que comienza a oscilar, de manera que un primer efecto de la interacción de la luz con las partículas pequeñas del aire es que la radiación incidente se debilita al ceder parte de su energía, lo que le sucede a la luz del Sol cuando atraviesa la atmósfera. Evidentemente esta energía no se queda almacenada en el aire, pues cualquier átomo o partícula pequeña cuya corteza se agita, acaba radiando toda su energía en forma de onda electromagnética al entorno en cualquier dirección, siendo la intensidad de la luz difundida inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda. La difusión será mayor por tanto, para las ondas más cortas. Como consecuencia de ello, llegamos a la conclusión de que la luz violeta es la más difundida y menos la roja. El resultado neto es que parte de la luz que nos llega desde el Sol en línea recta, al alcanzar la atmósfera se esparce en todas direcciones y llena todo el cielo.

Esparcimiento Raleigh. El color del vidrio es azul por el esparcimiento, en tanto que la luz que atraviesa el material es rojo anaranjada porque ya no tiene azul. Imagen tomada de wikipedia.

El color del cielo, debería ser violeta por ser ésta la longitud de onda más corta, pero no lo es, por dos razones fundamentalmente: porque la luz solar contiene más luz azul que violeta y porque el ojo humano (que en definitiva es el que capta las imágenes -aunque el cerebro las interprete-), es más sensible a la luz azul que a la violeta.

El color azul del cielo se debe por tanto a la mayor difusión de las ondas cortas. El color del sol es amarillo-rojizo y no blanco, porque si a la luz blanca procedente del Sol -que es suma de todos los colores- se le quita el color azul, se obtiene una luz de color amarillo-roja.

Foto tomada de atmospheric optics en http://www.atoptics.co.uk/atoptics/sunsets.htm

Si el tamaño de la molécula es mayor, el esparcimiento dominante no es el Raleigh sino el Mie. En este caso, cada partícula se comporta como un obstáculo que esparcirá más o menos luz según su composición química y que alterará el color de la luz reflejada si la partícula está formada por sustancias coloreadas. Si la luz se encuentra con una distribución de partículas grandes, parte de la luz se esparce y, además, puede cambiar de color. El ejemplo más sencillo de este proceso lo tenemos en las nubes, donde las gotas de agua incoloras, esparcen la luz en todas las direcciones pero sin alterar su color. Si le quitan mucha energía a la luz solar, las nubes llegan incluso a verse grises u oscuras. Esta es la causa de que en los días muy nublados, cuando las nubes son muy gruesas, el cielo aparezca más o menos gris, y a veces casi negro. Esto mismo sucede, cuando en la atmosfera hay muchas partículas contaminantes (por eso el cielo de las ciudades es gris). Otro ejemplo es el cielo del planeta Marte, provocado por partículas coloreadas de tamaño grande, que provocan que el cielo no sea azul, porque el tamaño de las partículas no permite la difusión de Rayleigh.

En resumen:

Esparcimiento Rayleigh

Las partículas mucho más pequeñas que las longitudes de onda de la luz esparcen la luz en todas direcciones. Su dispersión es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda. Azul (~ 450 nanómetros de longitud de onda) se dispersa más de cuatro veces más fuerte que el rojo (~ 650 nm). Las pequeñas partículas de polvo son dispersores de Rayleigh. Algunas partículas de humo son lo suficientemente pequeñas también: al ver el humo de un incendio, se ve de color rojo o marrón cuando se observa frente a una luz brillante, pero azul/ blanco de otra forma.

Esparcimiento Mie

Las partículas más grandes que las longitudes de onda de la luz visible esparcen sobre todo, hacia adelante, en la dirección del haz original. Algunas partículas, como las gotas de agua, también dispersan fuertemente en otras direcciones muy específicas para formar el arco iris, halos, glorias y coronas. Con la excepción de estas direcciones específicas, la luz de diferentes longitudes de onda se esparce de forma mucho más equitativa que por Rayleigh.

En las figuras de abajo puede verse la distribución espacial de la reradiación en los dos tipos de esparcimiento.

Imagen tomada de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/atmos/blusky.html#c2

Un halo surge en un banco de niebla en Carrn Gorm, Escocia. este es un fenómeno producido por esparcimiento MIE. El tamaño de partículas calculado, usando un programa para simular este fenómeno, fue de 60 micrones. Imagen tomada de http://www.atoptics.co.uk/droplets/fogbow.htm

Objetivo de la investigación

Construir las curvas de concentración contra esparcimiento para caracterizar tipos diferentes de leche y relacionarlas con el contenido de grasa.

Problema

Nuestro problema consiste en medir el esparcimiento de diferentes tipos de leche, en concentraciones distintas. Luego, graficar nuestros resultados para comparar e interpretar las gráficas.

Hipótesis

Nuestra hipótesis es que las graficas serán líneas rectas, ya que el esparcimiento depende de la concentración de moléculas. Esperamos que al comparar la grafica de leche light contra leche entera, a la misma concentración de nuestra suspensión de leche en agua haya más esparcimiento en la leche entera, ya que su concentración original de grasa es mayor.

Desarrollo

Arreglo experimental

Para nuestros experimentos usamos el láser del kit de óptica Newport como fuente de luz. Es un laser He-Ne de 3 mW y lus roja de 633 nm. Este laser iluminaba una caja trasparente de acrílico no absorbente, donde se colocaba la suspensión de leche y agua. A un lado de la caja colocamos un sensor de intensidad luminosa que capturaba y graficaba los resultados en la computadora. Tanto el laser como el sensor eran sostenidos por soportes universales con pinzas. En el dibujo siguiente mostramos el esquema básico de nuestro diseño.

Mediciones

Para medir usamos un sensor de intensidad luminosa de vernier, el cual se colocaba en una interfaz de adquisición externa (también de vernier). Los datos eran mandados a la computadora y graficado en el programa nativo de la tarjeta Logger Pro, versión 2.1.1. En todas las mediciones colocamos el laser en el mismo lugar, ya que si lo colocamos más atrás, la medición se ve alterada por que hay menos luz en el esparcimiento, pues al atravesar mayor cantidad de leche ya lleva menos energía el rayo. Para que la luz incidental no afectara, así como para eliminar el esparcimiento producido por el agua sola sin la leche, al inicio de las mediciones el programa permitía calibrar a cero y de esta manera eliminar ambas fuentes de incertidumbre.

Procedimiento

Después de calibrar el sensor, se colocaba en la disolución una medida preestablecida de leche en 800 ml de agua, se agitaba para homologar los más posible y esperábamos a que se detuviera la agitación, ya que descubrimos que la agitación aumentaba la variabilidad de las mediciones (algo que analizamos después en los resultados). Una vez tomada la medición para esa concentración, le agregábamos otro poco de leche y volvíamos a repetir el proceso. Y así, hasta tener muchas mediciones. Una vez con cada medición individual graficamos en Excel y obtuvimos las curvas correspondientes. Las dos leches que comparamos fue una light con 5g/L de grasa según la etiqueta y leche entera con 30 g/L de grasa.[1]

Resultados

En la gráfica de abajo puede verse una toma típica de datos, correspondiente a 8 mL de leche light en los 800 mL de agua.

En la grafica puede verse que los datos varían en el tiempo pero se encuentra dentro de un cierto margen (la explicación de esto la daremos en el análisis de los resultados). En este caso la intensidad varía entre 35 y medio y 39 y medio. Tomamos como medida la media y como incertidumbre una desviación estándar (ambos datos los da mismo programa).

A continuación mostramos la tabla que resume nuestras medidas para la leche light y su gráfica correspondiente

Leche Light
concentración/mL	Esparcimiento/Lux	SD/Lux
6	20.847	1.115
7	32.224	1.172
8	37.41	1.166
9	47.22	1.227
10	53.178	1.095
11	59.81	1.197
12	69.336	1.359
13	70.653	1.208
14	72.086	1.094
15	80.793	1.366

Como puede verse es una gráfica aceptablemente lineal.

A continuación se muestran la tabla y la gráfica para la leche entera

Leche Entera
concentración/mL	Esparcimiento/Lux	SD/Lux
1	19.378	0.701
3	30.846	0.806
4	34.61	0.684
6	42.147	1.416
8	52.041	1.791
9	49.694	1.523

Como puede verse la gráfica es también, más o menos, lineal.

Análisis e interpretación de resultados

Como puede verse de las gráficas nuestra suposición inicial fue correcta, el esparcimiento depende linealmente de la concentración.

Comparando ambas gráficas, puede verse que la leche light es más sensible a los cambios de concentración que la leche entera. Esto es contrario a lo que esperábamos. Creemos que para explicar esto hay dos posibilidades:

1) Al ser leche entera, la cantidad de grasa es grande, y llegamos a un cierto punto de “saturación” del esparcimiento. Una posible evidencia de esto la notamos, ya que las últimas mediciones en la leche entera (a una concentración de 8 a 13 mL de leche en los 800 mL de agua) parecieron estabilizarse.

2) La leche tiene, además de grasa, proteínas y otros componentes, que también pudieran estar afectando el esparcimiento. Es posible que la leche light tenga una cantidad diferente de estos otros compuestos a los de la leche entera y por ende, que esto haga variar el esparcimiento.

Tenemos evidencia experimental de la primera posibilidad

Gráfica para una concentración de 8 mL de leche

Gráfica para una concentración de 9 mL de leche

Lo que puede verse de ambas graficas es que el valor, además de estar muy cercano (la media) empieza a ser más “estable” pues aparecen varias líneas horizontales.

Finalmente, hay que interpretar la variación en las mediciones individuales para cada concentración, es decir, que la grafica no sea sólo una línea recta, indicando un solo valor fijo. En su lugar la grafica parece “oscilar” entre dos valores y alrededor de un valor central (como muestra la gráfica de abajo). Este valor es común a todas las gráficas.

Nuestra interpretación de este hecho es que es el movimiento molecular el que estamos observando. Como las partículas de leche en la suspensión están en continuo movimiento, tenemos que la densidad promedio cambia en el punto de observación: a veces tenemos un número mayor de moléculas, a veces un número menor. Sin embargo hay un valor promedio, que correspondería al valor en el que tomamos la media del esparcimiento.

Gráfica de 9 mL de leche light en 800 ml de agua

Conclusiones

El esparcimiento depende de la concentración proporcionalmente, sin embrago a ciertos valores se estabiliza. El esparcimiento Mie es útil para ver la concentración de moléculas grandes y puede servir para observar y medir el movimiento Molecular. El comportamiento de las diferentes leches ante el esparcimiento Mie muestra que las leches son cualitativamente diferentes.

Fuentes de información

Richard N Zare et all; Lasers. Experiments for beginners. University Science Books; pgs 66-74.

Victor Weizkopf, Cómo interactua la luz con la materia. Disponible en línea en opticaluzycolor.blogspot.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_de_Mie

http://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_de_Rayleigh

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/atmos/blusky.html#c2

http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/cielo/Color_del_Cielo.htm

[1] Sin embrago, hay que tener cuidado con estas cantidades pues no siempre son precisas (ver la revista del consumidor de diciembre del 2004, disponible en línea en http://www.profeco.gob.mx/revista/pdf/est_04/leche_dic04.pdf).

¿Qué es el color? La teoría Retinex de Land

RESUMEN:

En este artículo se revisan los experimentos que conducen a la teoría del color de Edwin H. Land. Esta teoría es importante porque demuestra que la explicación generalizada que asocia el color con reflectividad es errónea, sustituyéndola como el atributo principal que determina el color de los objetos por la luminosidad. En este proceso se descubre que el color es una construcción activa del cerebro, más que un simple reconocimiento de "etiquetas": rojo, azul, etc.

La teoría Retinex demuestra que el color se construye por medio de la comparación de reflectancias sobre superficies contiguas. Al mismo tiempo evidencia la falsedad de la Teoría Trícromatica del Color de Newton.

Introducción

La teoría comúnmente aceptada que explica el color de los objetos se remonta a Newton. La explicación es la siguiente: cuando la luz incide sobre una superficie, ella absorbe ciertas longitudes de onda y refleja otras; así, un objeto rojo absorbe toda la luz que le llega salvo el rojo, uno verde refleja sólo el verde, etc. El problema con ésta explicación es que conduce a una paradoja: ¿Por qué el color de los objetos es el mismo ante diferentes condiciones de iluminación? Es decir, si tomamos un objeto y lo miramos bajo la luz del sol, bajo una bombilla con filamento de tungsteno o bajo la luz de un tubo fluorescente de neón, el color es el mismo (aunque puede haber cambios de tonalidad) aun cuando la iluminación cambia la composición espectral de la luz que llega en cada caso. A este fenómeno Helmholtz le llamo "descontar el iluminante", aunque no lo pudo explicar. Hering lo expreso como sigue: «Cuando pensamos acerca de… grandes diferencias en las iluminaciones naturales o artificiales bajo las cuales es posible una visión diferenciada, entonces tendríamos que estar realmente sorprendidos por el hecho de que, por lo general, tomamos los colores como si fueran propiedades intrínsecas de los objetos más que como simples propiedades accidental y continuamente variables, como son, por ejemplo, la condición de frio, fresco, templado o cálido.»

Esta propiedad llamada «constancia del color», es, de hecho, la propiedad única más importante del sistema de color, sin la cual éste perdería su razón de ser como mecanismo de señalización biológica. Pero si estas profundas variaciones en la composición de la luz reflejada en una superficie no conllevan un cambio en el color del objeto que está siendo observado, nos enfrentamos entonces a una paradoja, o al menos eso parece. Los psicólogos refuerzan la idea de paradoja denominando a éste fenómeno «constancia de color», lo cual da a entender que hay una inconstancia en el color, y consideran la primera como una desviación de la regla que dice que hay una relación directa y simple entre el color de la superficie y la composición de longitud de onda reflejadas en ella.

Todos conocemos la Teoría Tricomátrica de Newton, la cual afirma que el color de los objetos se debe a que absorben todos los colores del espectro luminoso salvo el color que percibimos: así pues distinguimos el color reflejado. Esta teoría ha llegado a ser tan popular, tal vez por la simpleza para entenderla, que incluso en algunos libros se le llama "La Teoría Vulgar del Color". Sin embargo con esta idea nos enfrentamos a una paradoja: por un lado decimos que el color depende de la luz reflejada por la superficie; por otro, esta luz cambia bajo diferentes iluminaciones (y por tanto la luz reflejada). Helmmotz trato de resolver esta paradoja hablando de "descontar el iluminante" y de "inferencia inconsciente". No obstante, ésta teoría no logró explicar satisfactoriamente la constancia del color.

Imagen 1. La constancia del color hace que el cuadro A parezca más oscuro que el B. Son del mismo color. Para verlo córtense en un cartón negro dos agujeros: uno que quede sobre el cuadro A y otro sobre el cuadro B, tapando el resto de la figura. Tomado de http://en.wikipedia.org/wiki/Color_constancy

Edwin H. Land (fundador de Polaroid e inventor de los polaroides) realizo una serie de experimentos para entender y explicar el color de los objetos. La primera serie de experimento consiste en iluminar superficies de diferentes colores bajo luz roja, verde y azul, variando la intensidad de cada una de ellas. Para ello Land construyo, cuadros con rectángulos de diferentes colores (Ver foto 1) hechos de superficies mate. Por su parecido con los cuadros del famoso pintor se les conoce como lo experimentos Mondrían de Land. Estos cuadros son iluminados por tres proyectores de colores rojo, verde y azul (ver imagen 2). Se prende el primer proyector y se regula la cantidad de luz con el reóstato. Se mide la cantidad de Luz con un fotómetro y de esta forma se calibra la intensidad luminosa deseada. Se apaga este primer proyector y se repite el proceso con los proyectores dos y tres. De esta manera se pueden tener combinaciones de los tres colores con intensidades variables y medidas.

Foto1. El doctor Edwin Herbert Land con uno de sus cuadros Mondrian. Tomado de http://rubell.wordpress.com/2009/04/28/my-vintage-sunglasses/

Imagen 2. Representación de los experimentos Mondrian de Land. Tomado de http://sumesh.wordpress.com/

Como un ejemplo: en una habitación oscurecida se le pide a un audiencia de individuos normales que mire uno de los fragmento del cuadro, por ejemplo verde. Se ponen en marcha los tres proyectores y se ilumina el fragmento. Se le pide a la audiencia que identifique el color. La respuesta es verde. Se repite el experimento con diferentes intensidades de los tres colores y se obtiene siempre el mismo resultado: verde. Ahora se cambia el experimento con otros fragmentos de diferente color y la respuesta es la misma: la audiencia identifica correctamente el color del fragmento. La conclusión es que el color no depende de la luz reflejada, al menos de una forma simple.

Pero Land fue más lejos. La clave de la teoría fue hacer los mismos experimentos pero en "el vacio". Esta forma de iluminar los objetos sólo se logra en los laboratorios, los seres humanos no la conocen en situación normal. En esta forma de ver los objetos, se ilumina una superficie de forma aislada, sin ver nada más que el área a describir (iluminando sólo un fragmento o mediante un pequeño agujero, cómo lo hicimos nosotros). Esto se conoce técnicamente con el nombre de pantalla de reducción o situación de abertura.

Cómo un ejemplo, se repiten el experimento descrito un poco más atrás: ponga una superficie verde e ilumínela con luz roja, verde y azul en distintas combinaciones de intensidad. La respuesta ahora es que el color es blanco o un gris muy tenue (a diferencia de aquel experimento en donde la respuesta es verde). Sorpresivamente, si el observador no ve más que la superficie iluminada, sin poder ver otros colores en la escena visual, no puede reconocer el color. Si se repite el experimento con distintas superficies y con distintas combinaciones de intensidades de las luces el resultado es el mismo. Para determinar el color de una superficie, se necesita tener en la misma escena visual más de un color. Esto nos lleva a concluir que la manera en que el cerebro construye el color es mediante la comparación.

El siguiente paso de Land fue comparar dos colores. Tómese por ejemplo una cartulina compuesta de verde y rojo. Si la iluminamos con luz roja lo que veríamos es que el lado rojo se ve más brillante, en tanto el lado verde, aunque se ve rojo, es menos brillante (ver foto 2). Si ahora iluminamos con verde esta misma cartulina, lo que observamos es que ahora el rojo aparece oscurecido y el verde es brillante.

Foto 2. En C) tenemos el original, visto con luz normal. En A) iluminado con luz roja y en B) iluminado con luz verde. Tomado de Seki, Zemir; una visión del cerebro. Lamina 10

Se trata, entonces, de relacionar estas observaciones con las propiedades físicas que nos llegan a los ojos a través de la luz que se refleja en los objetos. Las dos magnitudes físicas relacionadas son la luminosidad y la reflectancia.

La luminosidad es la determinación de la eficacia de las distintas superficies para reflejar luz de una longitud de onda dada. Por otro lado, la reflectancia de una superficie a una luz de longitud de onda dada es su eficacia en reflejar la luz de esta longitud de onda, expresada como porcentaje de luz incidente y luz reflejada. Esta nunca cambia, aunque las cantidades incidentes y reflejadas cambien continuamente. Como puede verse ambas cantidades están relacionadas.

¿Cómo percibe el cerebro el color? Primero hace un barrido de la escena en las tres longitudes de onda por separado. Por ejemplo en el rojo, obteniendo como resultado un registro de la luminosidad de los componentes de la escena para esta longitud de onda. Luego hace lo mismo para el verde y, por último, para el azul. Como resultado tiene tres registros de luminosidad para cada banda. A continuación compara estos tres registros de luminosidad y con esto concluye el color. Por ejemplo si las superficies tienen mayor luminosidad en la banda del rojo, son rojas. Si lo tienen en el verde son verdes. Si su registro de luminosidad es más o menos similar en dos colores, entonces el color es la mezcla de ambos. Por tanto, la teoría Retinex de Land "supone que lo que hace el cerebro es comparar los registros de luminosidad de una escena, obtenidos simultáneamente en cada una de las tres bandas de longitudes de onda (alta, baja y media), sin hacer caso de la composición de longitudes de onda de la luz iluminadora y, por tanto, sin hacer caso de la intensidad relativa de las luces de distintas bandas." Esto explica, además, como el cerebro "descuenta el iluminante".

La primera cosa evidente es que para que el color sea constante, (o sea no dependa del iluminante) no puede basarse en reflectancia únicamente, ya que la luz que se refleja en cada objeto varía de acuerdo a la luz que lo ilumina. Lo que hace el cerebro es más ingenioso: compara la reflectancia de varias superficies obteniendo el registro de luminosidad y de esta manera no depende de la luz que ilumina, sino de las propiedades constantes de los objetos, pues estos reflejan una banda de color, de acuerdo a su reflectancia. Por tanto, el correlato biológico de la reflectancia es el registro de luminosidades. Si el cerebro no tiene un minino de dos colores no puede hacer la comparación de las reflectancias y no puede construir el registro de luminosidades. De todo lo anterior, es evidente que la teoría trícromatica no puede ser cierta ya que se basa en la reflectancia de la superficie sin considerar reflectancias de las supetrficies adyacentes (es decir sin registro de luminosidades). El primer experimento de Land demuestra la falsedad de esta suposición.

En la foto 3 puede verse la construcción del los colores mediante el registro de luminosidades. En la actualidad, la Teoría Retinex se usa para procesar imágenes "sucias" y limpiarlas (Ver fotos 4 y 5), así como en procesamiento digital de imágenes, para reconocimiento de imágenes.

Foto3. Construcción de la imagen A) mediante el registro de tres luminosidades de la misma escena. En B) registro de luminosidad bajo luz azul. En C) con luz verde y en D) con roja. Tomado de Zeki, Semir; Una visión del cerebro.

Como una última aclaración interesante hay que mencionar el porqué el nombre que Land dio a su teoría. La llamo Retinex porque no sabía donde se llevaba a cabo el proceso de percibir el color mediante las luminosidades. Retinex viene de la composición de retina y cortex, la parte más evolucionada del cerebro.

Foto 4. Limpieza de una foto usando el algoritmo de Land. Tomado de http://dragon.larc.nasa.gov/

Foto 5. Arriba puede verse como se "limpio" y definió la imagen de rayos x de abajo. Tomado de http://dragon.larc.nasa.gov/retinex/medical/medical.html

COMO INTERACCIONA LA LUZ CON LA MATERIA

Los objetos cotidianos que nos rodean son blancos, coloreados o negros, opacos o trasparentes, dependiendo de cómo los electrones en sus átomos responden a la fuerza impulsora de la radiación.

Por Víctor F. Weisskopf

Traducido y adaptado por

Fís. Pedro Ángel Quistian Silva

La inmensa mayoría de las cosas que vemos cuando observamos a nuestro alrededor no emiten luz por si mismas. Son visibles sólo porque reemiten parte de la luz que incide sobre ellas desde alguna fuente primaria tal como el sol o una lámpara eléctrica. ¿Cuál es la naturaleza de la luz que alcanza nuestros ojos proveniente de objetos que son inherentemente no luminosos?

En lenguaje coloquial, decimos que tal luz es reflejada o, en algunos casos, trasmitida. Como veremos, no obstante, los términos reflexión y trasmisión dan pocos indicios de los sutiles mecanismos moleculares que entran en juego cuando los materiales son irradiados por una fuente de luz. Estos mecanismos determinan cuando un objeto se ve blanco, coloreado o negro, opaco o trasparente. La mayoría de los objetos tienen también textura de algún tipo, pero la textura surge principalmente de la interacción entre luz y sombra y no estamos interesados en ella aquí. Restringiré mi discusión principalmente al efecto de la luz blanca sobre materiales de todo tipo: sólidos, líquidos y gases.

La luz blanca, tal como llega del sol o de una fuente artificial, es una mezcla de radiación electromagnética con longitudes de onda entre 400 y 700 nanómetros (milmillonésimas de metro) y una distribución de intensidad característica de la radiación de un cuerpo que tiene una temperatura de aproximadamente 6000 grados Celsius. Cuando tal luz incide sobre la superficie de algún material es, o reemitida sin cambio de frecuencia, o absorbida y su energía trasformada en calor. En raras ocasiones la luz incidente es reemitida en forma de luz visible de frecuencia menor; éste fenómeno se llama fluorescencia. En lo que sigue, estudiaremos las formas más comunes de emisión secundaria de la luz. Contestaré preguntas tan familiares como: ¿Por qué es azul el cielo? ¿Por qué es blanco el papel? ¿Por que es trasparente el agua? ¿Qué causa la apariencia coloreada de los objetos? ¿Por qué brillan los metales?

Todas las respuestas a estas preguntas están basadas en el hecho de que los electrones de los átomos pueden vibrar cuando son expuestos a la luz. Las amplitudes de estas vibraciones son extremadamente pequeñas: aun con luz brillante no son mayores que 10^-17 metros, o menos del 1 por ciento del radio de un núcleo atómico. No obstante, todo lo que vemos a nuestro alrededor, toda la luz y color que colectamos con nuestros ojos cuando miramos los objetos de nuestro entorno, es producido por esas pequeñas vibraciones de los electrones bajo la influencia de la luz solar o de la luz de fuentes artificiales.

¿Qué sucede cuando la materia se expone a la luz? Regresemos a la unidad más simple de la materia y preguntémonos que sucede cuando un átomo o molécula aislados se exponen a la luz. La teoría cuántica nos dice que la luz viene en paquetes llamados fotones; a mayor frecuencia de la luz (o más corta la longitud de onda), mayor energía por paquete. La teoría cuántica también nos dice que la energía de un átomo (o un sistema de átomos tal como una molécula) puede asumir sólo ciertos valores definidos que son característicos para cada especie de átomo. Estos valores representan el espectro energético del átomo. Comúnmente, el átomo se encuentra en el estado base, el estado de menor energía. Cuando el átomo es expuesto a la luz de una frecuencia tal que la energía del fotón es igual a la diferencia de energía entre un nivel excitado y el estado base, el átomo absorbe un fotón y cambia al correspondiente estado excitado. Después de un corto tiempo, decae a un estado de menor energía y emite la diferencia en forma de un fotón [Ver Figura 1].

Figura 1 LA INTERACCIÓN DE LA LUZ CON LA MATERIA involucra la absorción de un fotón, o cuánto de luz, por un átomo o molécula. Si el fotón tiene la energía requerida, el átomo o molécula subirá de un nivel de baja energía a un nivel de mayor energía. Después de un corto tiempo el átomo o molécula cae de regreso a un estado bajo y la diferencia de energía se emite como un fotón. Aquí se presentan dos imágenes simples. A la izquierda un fotón (línea ondulada) interactúa con un átomo (Según el modelo de Bohr) de cinco electrones (Arriba). El fotón eleva un electrón de la segunda órbita, 2s, a la tercera, 2p (Esquema del medio). Cuando el electrón excitado regresa a su nivel, emite un fotón (Abajo). En la derecha, la secuencia se ilustra en términos de diagramas de niveles de energía. El fotón libera exactamente la energía requerida para elevar un electrón del nivel 2s al 2p. Estas imágenes simples son inadecuadas, a pesar de todo, para describir la interacción típica de la luz visible con la materia, que es de lo que trata este artículo. Primero, la energía del fotón usualmente no corresponde a la diferencia de energía entre órbitas. Segundo, cuando los átomos en grupo son excitados, generalmente liberan su energía por medios distintos de la emisión de un fotón.

De acuerdo a este modelo simple, el átomo responde a la luz sólo cuando la frecuencia es tal que la energía del fotón es igual a la diferencia de energía entre dos niveles energéticos del átomo. La luz está entonces "en resonancia" con el átomo. En realidad el átomo también reacciona a luz de cualquier frecuencia pero esta reacción no resonante es más sutil y no puede describirse en términos de saltos cuánticos de un nivel de energía a otro. Es, sin embargo, importante, porque la mayoría de los procesos responsables de la apariencia visual de los objetos está basada en respuestas a luz no resonante.

Afortunadamente, la interacción de la luz con los átomos puede ser descrita de forma más simple. Uno obtiene las características esenciales de tal interacción (en particular la reemisión sin cambio de frecuencia) al reemplazar el átomo con electrones oscilantes. Un electrón oscilante es un sistema en el cual un electrón vibra con una cierta frecuencia que designaremos w_o. Podemos imaginar al electrón como si estuviese ligado a un centro mediante un resorte ajustado para que tenga una resonancia en la frecuencia w_o. Los electrones oscilantes que estamos usando para representar un átomo están diseñados de tal forma que sus frecuencias w_o correspondan a transiciones del estado base a estados superiores. Ellos representan las frecuencias de resonancia del átomo en el estado base. Cada uno de estos osciladores tiene una cierta "resistencia", una medida de la probabilidad de la transición. Usualmente la primera transición desde el estado base tiene la mayor resistencia; de tal forma, podemos reemplazar al átomo por un oscilador simple.

Otra cantidad que caracteriza a estos osciladores es su fricción. La fricción causa perdidas de energía en la oscilación. La fricción produce un flujo de energía desde la vibración hacia alguna otra forma de energía. Esto indica que la energía esta siendo trasferida desde el estado excitado por alguna ruta distinta de la transición directa hacia el estado base. Por tanto, siempre que el estado excitado se libere de la energía por medios distintos de la reemisión del cuánto absorbido, debemos asumir que el oscilador correspondiente sufre alguna fricción. Éste es un punto importante en nuestra discusión porque los átomos excitados en sólidos y líquidos trasmiten su energía de excitación principalmente en forma de calor hacia el material. A diferencia de los átomos aislados que se encuentran en gases rarificados, ellos tienen solo una pequeña probabilidad de retornar directamente al estado base por la emisión de un cuanto de luz.

De aquí en adelante discutiré el efecto de la luz sobre los átomos en términos de este modelo de oscilador. Podemos ahora olvidarnos de fotones y estados cuánticos excitados porque obtendremos resultados correctos si consideramos la luz incidente como una onda electromagnética clásica actuando sobre electrones oscilantes clásicos. Los efectos de la teoría cuántica fueron tomados en cuenta al seleccionar de manera apropiada los osciladores que reemplazarán al átomo. Podemos interpretar los resultados del modelo oscilador de forma tal que, bajo la influencia de la luz, el movimiento de los osciladores se superpone al estado ordinario de movimiento del electrón en el estado base. Siempre que una onda de luz pase sobre el átomo, tiene lugar una vibración general en el estado base del átomo, una vibración de un tipo y resistencia igual a las vibraciones que los osciladores de nuestro modelo realizarían si fuesen expuestos a la onda luminosa. La nube electrónica de cada átomo vibra bajo la influencia de la luz. La nube vibra con la misma frecuencia que la luz incidente y con la amplitud correspondiente a una de las de nuestro modelo oscilador. Es ésta vibración, cuantificada en menos de 10^-17 metros en amplitud, la que reemite la luz por la que vemos los objetos a nuestro alrededor.

La luz del sol o de alguna fuente artificial es una mezcla de luz de muchas frecuencias. El movimiento de un oscilador expuesto a tal mezcla es simplemente una superposición de todos los movimientos que realizaría si fuese expuesto separadamente a luz de cada frecuencia contenida en la mezcla.

Si una onda electromagnética de frecuencia w pasa sobre un electrón oscilador, el campo eléctrico ejerce una fuerza periódica y conduce a ciertas respuestas características [ver Figura 2]. Primero que todo, el campo eléctrico periódico induce una vibración del oscilador por lo que éste oscila con la frecuencia w del campo, no con su propia frecuencia de resonancia w_o. La amplitud y la fase de éste movimiento dependen de los valores relativos de w y w_o. Si w es mucho menor que w_o, la oscilación es débil y está en fase con la fuerza impulsora eléctrica de la luz. Si w es mucho mayor que w_o, es también débil pero opuesta en fase a la fuerza impulsora. Si w está en resonancia (en cuyo caso w es igual a w_o), la oscilación es fuerte y fuera de fase, es decir, cuando la fuerza impulsora está en una cresta, la oscilación va hacia el punto cero. La amplitud de la oscilación sigue una formula matemática simple que no nos interesa aquí. La formula muestra que si w es mucho menor que w_o, la amplitud es pequeña pero casi independiente de la frecuencia impulsora w. Si w es mucho mayor que w_o, la amplitud decrece al incrementarse w, a una tasa proporcional a 1/w². Sólo en el caso resonante (w=w_o) corresponde a la imagen simple de transición a otro estado cuántico.

Figura 2 LA RESPUESTA DE UN OSCILADOR A UNA FUERZA PERIÓDICA IMPULSORA sirve como modelo de cómo el electrón de un átomo responde a la fuerza impulsora de la luz. La respuesta de cada oscilador (b, c, d, e) depende de sus particulares frecuencia de resonancia w₀. La fuerza impulsora (a) tiene una frecuencia w. Cuando w_o es mucho mayor que w, el oscilador responde en fase pero débilmente. (b). Cuando w_o es igual a w, la respuesta alcanza el máximo y está 90 grados fuera de fase (c). Cuando w_o es mucho menor que w, la respuesta es nuevamente débil y 180 grados fuera de fase (d). Esta débil respuesta se asemeja a la un electrón libre.

¿Cuáles son las frecuencias de resonancia para diferentes átomos y moléculas? La mayoría de los átomos simples como hidrógeno, carbón, oxigeno y nitrógeno, tienen resonancias con frecuencias mayores que la luz visible, en el ultravioleta. Las moléculas, sin embargo, pueden realizar vibraciones en las cuales los átomos se mueven unos respecto de otros dentro de la molécula. Debido a la gran masa del núcleo, tales vibraciones tienen muy bajas frecuencias; las frecuencias son menores que las de la luz visible, en la región infrarroja. Por tanto, las moléculas más simples como O₂, N₂, H₂O y CO₂, tienen resonancias en el infrarrojo y ultravioleta, pero no en la región visible: son trasparentes a la luz visible. No obstante, la luz visible tiene una influencia sobre ellas, la cuál puede describirse por nuestro modelo de oscilador. Remplacemos las moléculas por dos tipos de osciladores, uno representando las resonancias ultravioletas, el otro representando las resonancias infrarrojas. Los últimos no son realmente electrones oscilantes, son electrones "pesados" en los cuales la masa de la carga oscilante es tan grande como la masa de los átomos vibrantes, dado que se supone que representan el movimiento de los átomos dentro de la molécula.

Estamos listos ahora para entender uno de los más bellos colores de la naturaleza: el azul del cielo. La acción de la luz solar sobre las moléculas de oxígeno y nitrógeno en el aire es la misma que la acción sobre los dos tipos de osciladores. Ambos deben vibrar bajo la influencia de la luz solar. La amplitud de las oscilaciones infrarrojas debe ser, no obstante, mucho menor que la amplitud de las oscilaciones ultravioletas debido a su mayor masa vibrante. En consecuencia, necesitamos considerar solamente los osciladores con resonancias ultravioletas. Cuando los osciladores se encuentran bajo la influencia de la luz solar visible, la fuerza que los impulsa es menor que la frecuencia de resonancia, entonces vibran con una amplitud que es aproximadamente igual para todas la frecuencias visibles [ver Figura 3]. Figura 3 LA AMPLITUD DE OSCILACIÓN es una función de la razón entre la frecuencia de la fuerza impulsora w y la frecuencia de resonancia del oscilador w_o. Esta razón w/w_o, está expresada en la recta horizontal, la cual es logarítmica. La amplitud se aproxima a un valor constante (izquierda) cuando la frecuencia impulsora está muy debajo de la resonancia. Ésta es la situación cuando las moléculas de nitrógeno y oxígeno en la atmósfera están expuestas a la luz visible. Cuando la frecuencia impulsora está muy arriba de la resonancia, la amplitud decrece como el cuadrado de w/w_o.

Debemos ahora considerar el hecho que una carga vibrante es un emisor de luz. De acuerdo a un principio de la electrodinámica, un electrón oscilando con una amplitud A, emite luz en todas direcciones con una intensidad dada por una formula en la cual la intensidad de la radiación es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia (La formula es 1/3(e²/c³)w⁴A⁴, donde e es la carga del electrón, c es la velocidad de la luz y w es la frecuencia de la oscilación). Por consiguiente las moléculas de aire emiten radiación cuando son expuestas a la luz del sol. Este fenómeno es conocido como dispersión Rayleigh o esparcimiento. Es llamada dispersión porque parte de la luz incidente aparece desviada en otra dirección. Cuando miramos el cielo, pero no directamente, vemos la luz radiada por las moléculas de aire que están expuestas a la luz solar. La luz esparcida es predominantemente azul a causa de que la reradiación varía con la cuarta potencia de la frecuencia; entonces frecuencias mayores son reemitidas mucho más intensamente que las bajas.

El fenómeno complementario es el color del ocaso. Aquí observamos los rayos solares que han viajado a través del aire una gran distancia. La luz de frecuencias altas es atenuada más que la luz de bajas frecuencias; por consiguiente los rojos y amarillos llegan más intensos que los azules y violetas. El tinte amarillento de las montañas nevadas que vemos a la distancia es un fenómeno similar. La fuerte atenuación de las frecuencias mayores es una consecuencia de la conservación de la energía: la energía para la rerradiación debe provenir de la luz solar incidente y dado que la rerradiación es mayor a frecuencias altas más energía se toma de la luz solar a altas frecuencias.

En realidad la dispersión Rayleigh es un fenómeno muy débil. Cada molécula dispersa extremadamente poca luz. Un haz de luz verde, por ejemplo, viaja 150 kilómetros a través de la atmósfera antes de que reduzca su intensidad a la mitad. Esto es por lo que podemos ver montañas a distancias de cientos de kilómetros. Lord Rayleigh explotó el fenómeno de la dispersión de la luz para determinar el número de moléculas por unidad de volumen de aire. En 1899 él se encontraba admirando la cumbre del Everest desde la terraza de su hotel en Darjeeling, aproximadamente a 100 millas de distancia, cuando concluyó del oscurecimiento de los bordes de la montaña que una buena parte de su luz había sido dispersada. Determinó la potencia dispersora de cada molécula a partir del índice de refracción del aire y encontró que el número de moléculas de aire por centímetro cúbico al nivel del mar es 3 × 10¹⁹, lo cual es muy cercano al valor correcto.

Ahora que sabemos porque el cielo es azul. ¿Por qué entonces las nubes son blancas? Las nubes son pequeñas gotas de agua suspendida en el aire. ¿Por qué reaccionan diferente a la luz del sol? La molécula de agua tiene, también, resonancias en el ultravioleta, resonancias no muy diferentes de aquellas del oxigeno y del nitrógeno. Las moléculas de agua deberían reaccionar a la luz del sol de forma similar. Existe, sin embargo, una diferencia esencial. Determinamos la dispersión en el aire suponiendo que cada molécula radia independientemente de las otras, por lo que la intensidad total esparcida es la suma de las intensidades moleculares individuales. Esto es cierto para un gas tal como el aire porque las moléculas del gas están aleatoriamente localizadas en el espacio, y por consiguiente no existe ninguna interferencia particular entre las radiaciones individuales de las moléculas en cualquier dirección, sólo en la dirección de la luz solar incidente.

Este no es el caso cuando las moléculas o átomos tienen un arreglo más ordenado, como sucede en líquidos y sólidos o aún en las gotitas de una nube. Para entender el efecto de la materia en grupo, debemos estudiar como las ondas electromagnéticas reaccionan a un conjunto de osciladores mas o menos arreglado cuando la distancia promedio entre ellos es pequeña comparada con la longitud de onda de la luz visible. Como hemos visto, bajo la influencia de la luz visible, cada oscilador emite una onda luminosa. Dado que los osciladores no están aleatoriamente espaciados, estás ondas tienden a interferir entre si en una forma definida: existe interferencia constructiva con dirección hacía adelante (la dirección de la trayectoria de la luz) e interferencia destructiva en todas las otras direcciones. Las ondas individuales construyen una onda fuerte llamada la onda refractada; en cualquier otra dirección las ondas tienden a cancelarse entre si. Si los osciladores se encuentran en un arreglo regular, la cancelación es completa [ver Figura 4].

Figura 4 LA ONDA REFRACTADA EN UN CRISTAL consiste de una serie paralela de ondas planas (color oscuro) formando la cresta de muchas ondas esféricas (círculos negros). Las ondas esféricas dibujadas aquí representan luz reemitida por los átomos (puntos negros) en un cristal que está expuesto a un haz de luz penetrando por la izquierda. La onda refractada está viajando a la derecha. La situación en vidrio y agua es similar.

La onda refractada viaja con una velocidad v que difiere de la velocidad ordinaria de la luz c. La razón c/v es llamada el índice de refracción, n, del medio. Existe una relación simple que conecta el valor de n con la amplitud A de la vibración de los osciladores. A mayor amplitud bajo la influencia de una fuerza impulsora dada, más se separa n de la unidad. Conociendo el índice de refracción del aire, Lord Rayleigh usó esta relación para encontrar la amplitud de los osciladores que representan las moléculas de aire bajo la acción de la luz solar.

En un arreglo regular y uniforme de átomos las ondas reemitidas construyen una onda refractada simple. No existe dispersión individual o incoherente por cada oscilador, como ocurre en un gas tal como el aire. De la misma forma que el flujo de calor que tiene un cristal o un líquido no puede ser completamente regular, los átomos o moléculas están constantemente vibrando y, además hay siempre irregularidades e imperfecciones en la estructura cristalina. Estás irregularidades dispersan algo de la luz hacía otras direcciones que la de la onda refractada. Ésta dispersión es, sin embargo, mucho más débil que la dispersión en el aire, suponiendo un número equivalente de átomos. Por ejemplo, el agua es 1000 veces más densa que el aire, pero su dispersión molecular coherente es sólo cinco veces más grande por unidad de volumen que la dispersión en el aire que hace el cielo azul.

Veamos ahora que sucede cuando la luz incide sobre la superficie de un líquido o un sólido o una gotita de agua. Nuevamente reemplazamos cada átomo por un oscilador. Estos osciladores vibran bajo la influencia de la luz incidente y emiten ondas de luz. En el grueso del material todas estas ondas, dejando de lado la débil dispersión incoherente, se suman a la fuerte onda refractada. Esto no es así, sin embargo, cerca de la superficie del material. Existe una pequeña capa de osciladores en la superficie (de una profundidad aproximada de la mitad de la longitud de onda) para la cual la radiación hacia atrás no es completamente cancelada por la interferencia. La radiación hacia atrás de estos osciladores se suma a la onda reflejada [ver Figura 5].
Figura 5 LA REFLEXIÓN DE LA LUZ por la superficie de un sólido o líquido involucra sólo los osciladores (electrones) localizados en un volumen pequeño con forma de cajita en la superficie del material. Cuando la luz (I) incide sobre una superficie suave, parte de la luz penetra el material como una onda refractada (R) y parte se refleja hacía el observador (P). La radiación que constituye la onda reflejada se origina en una capa delgada cuyo espesor es aproximadamente media longitud de onda de la luz incidente. Los osciladores cuya radiación se suma coherentemente en P están contenidos en un pequeño cilindro cuya área superficial es de aproximadamente ld, donde l es la longitud de la luz y d es la distancia desde la superficie hasta el observador. Esta área se llama la primera zona de Fresnel. Para una superficie esférica de radio R, el área de la primera zona de Fresnel es igual a plR, suponiendo que la distancia al observador es grande comparada con R.

¿Por qué el color de ésta luz reflejada es blanco? Uno podría concluir, tal vez, que debe ser azul como el cielo, puesto que proviene de la rerradiación de osciladores y hemos aprendido que la intensidad de ésta rerradiación es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia. En realidad es blanca como la luz incidente. La intensidad de la luz reflejada con respecto a la luz incidente en agua, vidrio o cristales es prácticamente independiente de la frecuencia.

La explicación es que la onda reflejada es una composición coherente de muchas rerradiaciones individuales. Los osciladores, dado que no está aleatoriamente distribuidos, re-radián al unísono. Esto por si mismo no explica aún la diferencia; nos dice solamente que la intensidad re-radiada es alta. En una radiación coherente son las amplitudes las que se suman, no las intensidades. Por tanto, N osciladores coherentes dan N² veces la intensidad de una radiación individual. Puede parecer aún que la rerradiación debería ser azul puesto que la intensidad de la radiación de cada oscilador se incrementa sustancialmente con la frecuencia. Lo qué sucede, no obstante, es que el número de osciladores actuando al unísono también depende de la frecuencia: la capa que da lugar a la reflexión tiene una profundidad de media longitud de onda, y el área de la capa cuya luz reflejada llega al mismo tiempo, o con la misma fase, a un punto dado del espacio es también proporcional a la longitud de onda (esta área es conocida como primera zona de Fresnel. Las radiaciones de todas las otras partes de la superficie interfieren entre si, por lo que no dan luz a este punto). Por tanto, el número de osciladores N, que producen luz al unísono es proporcional al cuadrado de la longitud de onda. La intensidad de esta luz es proporcional a N². El efecto neto es cancelar la cuarta potencia de la frecuencia, debido a que una frecuencia mayor implica una longitud de onda menor y un menor valor de N. Como una consecuencia de esto, la intensidad de la luz reflejada es independiente de la frecuencia. Entonces las nubes son blancas: la luz solar incidente es reflejada en la superficie de las gotas de agua sin cambiar su composición espectral.

Figura 6a LA REFLEXIÓN DE LA LUZ POR UNA SUPERFICIE DE PAPEL involucra muchas reflexiones y refracciones cuando los rayos de la luz incidente recorren un camino aleatorio a través de una mezcla de fibras traslucidas, representadas aquí en sección trasversal. Las múltiple refracciones de un haz incidente simple están trazadas en líneas gruesas, los haces reflejados por las superficies se muestran en líneas delgadas.

Figura 6b EL PAPEL ordinario consiste de una mezcla aleatoria de fibras traslúcidas de celulosa. Esta magnificación fue realizada con un microscopio electrónico. En esta micrografía el objetivo se encuentra inclinado a 45 grados.

Sobre la misma base podemos entender la trasparencia del agua, o vidrio o cristales como la sal, el azúcar y el cuarzo. Si la luz incide sobre estas sustancias, es parcialmente reflejada en la superficie sin preferencia por ningún color. El resto de la luz penetra la sustancia y se propaga como una onda refractada dentro de ella. En consecuencia, estos objetos no tienen color. Sus limites son, sin embargo, visibles porque la luz se refleja sobre en sus superficies.

En ocasiones tales objetos pueden exhibir color bajo circunstancias especiales. La reflexión y la refracción son sólo aproximadamente independientes de la frecuencia. Ambas se incrementan ligeramente a altas frecuencias a causa de que tales frecuencias están un poco más cercanas a las resonancias del átomo.

Aunque estás diferencias se cuantifican en sólo un poco por ciento, podrían ser importantes si los detalles de la refracción y reflexión están involucrados de forma crítica en la manera que la luz retorna al observador. Entonces, como en el caso del arco iris, estas pequeñas diferencias pueden separar la luz blanca en sus colores constituyentes.

Las sustancias trasparentes con una gran superficie suave reflejan parte de la luz incidente en una dirección fija de acuerdo a las leyes familiares de la reflexión. Por consiguiente, superficies planas de sustancias incoloras (Vidrios de ventana, superficies de agua) pueden producir imágenes especulares. Si tales sustancias incoloras se encuentran en forma de pequeños gránulos, con cada gránulo mayor que la longitud de onda de la luz, la sustancia se ve blanca, como las nubes. La luz blanca incidente es parcialmente reflejada en muchas direcciones, dependiendo de la orientación de las superficies del gránulo. La luz que penetra los gránulos es nuevamente reflejada en las superficies interiores y después de varias reflexiones y refracciones regresa a los ojos del observador desde varias direcciones. Puesto que ninguno de estos procesos discrimina color, la luz que regresan será blanca y difusa. Esto explica el color de la nieve, o de la sal y el azúcar en pequeños granos y píldoras y cubos: todos consisten de pequeños cristales o moléculas con resonancias en el infrarrojo y ultravioleta. La blancura del papel tiene el mismo origen. El papel consiste de un entramado irregular de fibras trasparentes [ver Figuras 6a y 6b]. Las moléculas de las fibras tampoco tienen resonancias en la región visible. Las fibras reflejan y refractan la luz de la misma forma que los finos granos de sal o nieve.

Si los granos son más pequeños que la longitud de onda de la luz, no hay suficientes osciladores en el grano para establecer reflexión y refracción ordinarias. La situación se parece más a la de un gas de moléculas independientes, y la sustancia aparece azulada. Uno puede ver esto en un día seco cuando una nube desaparece. Lo que sucede frecuentemente es simplemente que las gotitas se hacen más y más pequeñas por evaporación hasta que la nube parece azul. El color azul del humo de cigarro es también evidencia de que las partículas son más pequeñas que la longitud de onda de la luz visible. El color del cielo sobre nuestra ciudades está causado, principalmente, por la forma en que la luz del sol es dispersada por partículas de polvo o contaminación, algunas mayores que la longitud de onda de la luz, algunas más pequeñas. Esto es por lo que el cielo citadino es una pálida mezcla de blanco y azul, lejos del profundo y rico azul que prevalece donde el aire es claro.

Aunque el agua es trasparente a causa de que tiene resonancias fuertes solo en el infrarrojo y ultravioleta, tiene un ligero color propio. Éste no es el maravilloso azul profundo que uno frecuentemente observa sobre la superficie de un lago o el océano. Este azul es el color reflejado del cielo. El color intrínseco del agua es un pálido azul verdoso que resulta de la débil absorción de luz roja. Debido a su fuerte polarización eléctrica la molécula de agua vibra fácilmente cuando esta expuesta a la radiación infrarroja. Además, sus resonancias infrarrojas son tan fuertes que alcanzan incluso el rojo visible [ver Figura 7].

Figura 7 LA LUZ ABSORBIDA POR EL AGUA es despreciable entre 400 y 580 nanómetros, en la parte visible del espectro. La absorción se incrementa en el naranja y la región roja y crece abruptamente en el infrarrojo cercano. La absorción es fuerte también en el ultravioleta. La absorción es causada por las resonancias de la molécula de agua en respuesta a varias longitudes de onda.

Estás resonancias representan absorciones verdaderas de luz porque la energía del cuanto absorbido se trasforma en calor. La débil resonancia en el rojo visible causa entonces una ligera absorción de luz roja en el agua. Quince metros de agua reducen la luz roja a un cuarto de su intensidad original. Prácticamente, la luz roja no alcanza una profundidad mayor de 30 metros en el mar. A tal profundidad todo se ve verde. Se ha encontrado que algunos crustáceos de las profundidades son rojos cuando se llevan a la superficie. En su ambiente normal parecen negros. El mecanismo de selección evolutiva parece no distinguir entre rojo y negro en tales condiciones.

Muchos de los colores que vemos a nuestro alrededor se deben a absorción preferencial: los colores de las hojas, flores, pájaros, mariposas, rubíes, esmeraldas y la gama total de pinturas y tintes. ¿Qué explica la absorción preferencial en un rango diverso de cosas y sustancias? La mayoría de los átomos y moléculas tienen resonancias solo en el infrarrojo y ultravioleta. Para producir una resonancia en la región visible la energía de excitación debe ser entre 1.5 y tres electrón Volts. Estos son valores muy pequeños para excitación electrónica y valores muy grandes para excitaciones moleculares. Existen, no obstante, átomos y moléculas que no tienen estados excitados en esta región. Son átomos con varios electrones en capas incompletas y ciertos componentes orgánicos: Los colorantes. Tales átomos pueden ser excitados por reacomodar sus electrones en la capa incompleta, lo que requiere menos energía que la excitación a una capa superior. Los colorantes son cadenas de anillos moleculares en las cuales los electrones se mueven libremente por la cadena o el anillo. Ellos se dispersan, por así decirlo, sobre distancias más largas que los electrones ordinarios en átomos y moléculas. Los estados excitados en tales sistemas son de menor energía de lo que son en los átomos debido a que un tamaño mayor da lugar a longitudes de onda electrónicas mayores y esto, a su vez, se asocia con menor frecuencia y por ende, menor energía de excitación. Millares de químicos han dedicado sus vidas profesionales a la síntesis de moléculas orgánicas que tengan resonancias en una parte u otra del espectro visible [ver Figura 8].

Aunque estados excitados bajos dan lugar a frecuencias de resonancia en el visible, deben satisfacerse otras condiciones antes de servir como pigmento. Primero, uno debe asegurarse que el cuánto de luz no sea simplemente reemitido después de que su absorción ha llevado la molécula a un estado excitado. Uno quisiera que la energía del estado excitado se trasforme preferencialmente en calor. Éste será el caso si trabajamos con materia a granel, líquido o sólido. Bajo tales circunstancias la reemisión de luz es altamente improbable. Segundo, las frecuencias de resonancia deben repartirse sobre un amplio intervalo. Un pigmento con una banda de absorción estrecha reflejaría más longitudes de onda y por tanto se vería blanco. Aquí, nuevamente la materia a granel contribuye al efecto deseado. En líquidos y sólidos los niveles de energía de átomos y moléculas se expanden sobre bandas amplias de energía, con el resultado que las resonancias se difunden sobre amplios rangos de frecuencia. Por ejemplo, un pigmento rojo absorbe luz de todas las frecuencias visibles excepto el rojo. Una pintura verde absorbe rojo y amarillo así como azul y violeta. La absorción de un pigmento cubre el espectro visible con excepción del color real del material. Algunas personas quizás se maravillen de porque una mezcla de pinturas de todos los colores dé lugar a un negro opaco, aunque hayamos dicho que el blanco es la suma de todos los colores. Las pinturas funcionan no adicionando partes del espectro, sino por sustraerlos. Entonces una mezcla de pintura roja, verde y azul absorberá todos las longitudes de onda y se vera, virtualmente, blanca.

Figura 8 LAS CARACTERÍSTICAS ESPECTRALES de tintas de color (curvas sólidas) y de un conjunto óptimo de colorantes para películas de color (curvas discontinuas). Puede observarse como los colorantes pueden producir colores que están más brillantemente saturados que aquellos obtenidos por tintas de impresión. La razón es clara, como se observa de las curvas: cada uno de los colorantes trasmite más longitudes de onda deseadas de lo que las correspondientes tintas son capaces de reflejar.

Un efecto de color, simple e impactante, es el produce por un emplomado. Los pigmentos están contenidos en el vidrio. Cuando la luz incide en la superficie del vidrio coloreado, es parcialmente reflejada en la superficie, tal como en vidrio ordinario. Al mismo tiempo, la reflexión es un poco más fuerte para las frecuencias que son absorbidas, porque, como dijimos antes, la amplitud de vibración es mayor cuando la frecuencia está en resonancia con el sistema. Este efecto, no obstante, usualmente no es muy pronunciado puesto que la reflexión principal proviene de los osciladores con resonancias en el ultravioleta, como sucede en el vidrio ordinario. La parte de la luz que penetra el cuerpo del vidrio —la onda refractada— está sujeta al efecto absorbedor del pigmento. Consecuentemente, sólo la luz de frecuencia tal que no es absorbida pasará a través del vidrio. Esto es por lo que uno obtiene el color impresionante de los emplomados cuando mira el lado que está iluminado. La reflexión sobre las superficies es prácticamente incolora; el principal color que uno observa es la luz que ha penetrado y que se reflejó sobre la segunda superficie [Ver figura 9].

Figura 9 EL COLOR DE LOS EMPLOMADOS depende de cuales longitudes de onda absorbe el vidrio. Aquí se supone que el vidrio absorbe las longitudes de onda más cortas por lo que se transmite fundamentalmente el rojo (representado por la primera línea gruesa, de arriba hacía abajo). Por tanto, la luz azul, representada aquí por la segunda línea gruesa, entra al vidrio y es absorbida. También es parcialmente reflejada. La luz roja es reflejada por la superficie posterior, al igual que en la superficie frontal, por lo que la luz reflejada total es predominantemente roja. Por consiguiente los emplomados rojos se ven rojos por reflexión y por trasmisión; el color trasmitido es más puro, no obstante.

Una hoja de papel de color servirá como un ejemplo de objetos ordinarios coloreados. La pintura causa que las fibras del papel se impregnen con tinte. Cuando la luz blanca llega al papel, es reflejada y refractada muchas veces antes de regresar a nuestro ojos. Siempre que la luz penetra una fibra, el tinte absorbe parte de ella. El mejor efecto de color se alcanza cuando la potencia reflectora de la fibra no es demasiado fuerte, por lo que la mayoría de la luz penetra la fibra. Una recuerda sus experiencias infantiles con acuarelas, que coloreaban más intensamente mientras el papel estaba húmedo. El agua reduce la diferencia de refracción entre las fibras y los intersticios, y por ende, reducen la reflexión de las superficies de las fibras.

El papel coloreado lustroso tiene una superficie suave. Sus irregularidades son pequeñas comparadas con la longitud de onda de la luz. La luz incidente es parcialmente reflejada sin mucha preferencia por algún color sobre otro, pero es reflejada por la superficie suave en un ángulo fijo de acuerdo a las leyes familiares de la reflexión. A cualquier otro ángulo la luz que llega al ojo debe pasar varias veces a través de las fibras antes de abandonar el papel. Esto es por lo que el color de la luz es claro y profundo: está libre de cualquier reflexión directa incolora. Algunas veces el papel lustroso muestra el hecho de que estar en resonancia implica grandes amplitudes y por consiguiente, reflexiones más fuertes. Uno frecuentemente nota una reflexión creciente las partes profundamente coloreadas de una pintura, pero sólo cuando el pigmento está depositado es la capa más superior.

Los objetos son negros cuando absorben para todas las frecuencias. Ejemplos bien conocidos son el grafito y la brea. Los objetos negros no absorben toda la luz que incide sobre ellos, siempre hay algo de reflexión en la superficie. Recuerde la reflexión en la superficie negra de un zapato lustroso. Una superficie negra sin lustre refleja tanto como una con lustre pero los rayos son reflejados en todas direcciones. Una superficie negra con muy poca reflectividad puede producirse si colocamos navajas de afilar apiladas. Cuando los filos de las navajas apuntan hacia nosotros, parecen negros aunque están altamente pulidos [ver foto de la última página]. La explicación es que la luz queda atrapada entre los filos, muy cercanos, y es absorbida después de muchas reflexiones.

Los colores más bellos de todos —los colores de las plantas, árboles y flores— se basan en el mismo principio de absorción preferencial. Las células de las plantas está llenas de pigmentos: clorofila en hojas verdes y hierba, otros pigmentos en los pétalos de las flores. La luz blanca que cae sobre las plantas es refractada y reflejada por las células; una gran parte de la luz penetra a las células en la misma forma que lo hace en las fibras del papel. Cuando retorna al ojo, todos los colores salvo uno o dos, son fuertemente reducidos por absorción. Sólo la luz verde escapa de la clorofila contenida en las células, sólo la luz roja en los pétalos de flores rojas.

Regresemos ahora a la apariencia visual de los metales. Un metal se caracteriza por el hecho que dentro de los confines del material existen muchos electrones —los electrones de conducción— que se extienden sobre muchos diámetros atómicos. Estos electrones son los más importantes para las propiedades ópticas de los metales. Hay uno, dos o a veces tres electrones por átomo entre los electrones de conducción. El resto de los electrones atómicos permanecen ligados a los átomos. Los electrones de conducción pueden visualizarse como un gas electrónico que penetra la red cristalina sin mucha dificultad. La razón para esté movimiento casi libre radica en la naturaleza ondulatoria del electrón. Aunque es cierto que una onda electrónica es esparcida por cada átomo del metal., el arreglo regular de átomos en la red hace que las ondas esparcidas interfieran en una forma definida: todas las ondas se suman para construir una onda inalterada en dirección hacia delante. El correspondiente movimiento electrónico es por tanto el movimiento de una partícula libre. Esté es un fenómeno muy cercano a la formación de una onda refractada cuando la luz penetra un cristal.

Sin embargo, el movimiento de un electrón de conducción no es completamente libre. La agitación termal de la red cristalina y otras imperfecciones de la red producen algún esparcimiento fuera de la onda electrónica principal. Esto es un análogo cercano al débil esparcimiento de la luz refractada en un cristal. El efecto puede ser expresado como un tipo de fricción de los electrones de conducción. Ésta es la causa de la resistencia eléctrica de los metales. En la reacción de los electrones a la luz visible, sin embargo, la fricción no juega un papel determinante; podemos considerar los electrones como si se movieran libremente

¿Cuál es el comportamiento de los electrones bajo la influencia de la luz? Realizan vibraciones de la misma frecuencia que la de la fuerza impulsora pero en fase opuesta. Cuando la fuerza se esta moviendo en una dirección, el electrón se mueve en otra. Es el mismo tipo de movimiento que un oscilador realiza cuando la fuerza impulsora es mucho mayor que su frecuencia de resonancia. Un electrón libre a plena luz solar realiza vibraciones con una amplitud aproximadamente 10 veces mayor que la amplitud de los electrones en agua y cristales, es decir, varias veces 10^-17 metros.

¿Qué sucede cuando la luz incide sobre una superficie metálica? La respuesta es muy similar a lo que sucede cuando la luz incide sobre la superficie de un líquido o un cristal, pero hay una importante diferencia. Puesto que las frecuencias de resonancia de un cristal o líquido son mayores que la frecuencia de la luz, ellos vibran en fase con la luz. En un metal, en cambio, los electrones vibran en fase opuesta. Bajo estas condiciones un onda luminosa refractada no puede propagarse si la densidad de electrones y la amplitud de sus vibraciones es mayor que cierto límite. El límite puede expresarse en términos de la "frecuencia de plasma" w_p, la cual está dada por la ecuación w_p=(Ne²/m)^1/2, donde N es el número de electrones por centímetro cúbico y m es la masa del electrón. Ésta frecuencia se encuentra usualmente el ultravioleta. Siempre que la frecuencia de la luz sea menor que w_p, como sucede siempre para luz visible, no se desarrolla onda refractada en el medio; existen demasiados electrones moviéndose en fase opuesta a la luz.

Puesto que no puede propagarse energía luminosa dentro del material, toda la energía de la luz incidente debe ir con la onda reflejada. Tal como en vidrio o agua, la onda luminosa reflejada es producida por una pequeña capa en la superficie del metal, una capa no mayor que la longitud de onda de la luz. Un cálculo más exacto muestra que en un metal ésta delgadez es igual a la longitud de onda que corresponde a la frecuencia de plasma dividida por 2p. Este valor es menor que 10^-7 metros. A diferencia de la onda reflejada en agua y vidrio, la onda reflejada por una superficie metálica tiene casi toda la intensidad de la onda incidente, salvo pequeñas perdidas de energía debidas a la fricción de los electrones vibrantes en la superficie. Esto es por lo que los metales "blancos" tales como plata y aluminio son tan brillantes: reflejan casi toda la luz visible sin importar su frecuencia. Superficies pulidas de estos metales son por tanto espejos ideales.

En los metales coloreados tales como cobre u oro hay pérdidas adicionales además de la fricción de los electrones. Estas perdidas surgen de la absorción de electrones distintos de los electrones de conducción. Cada átomo en un metal esta rodeado por capas de estos electrones que permanecen con los átomos después de que los electrones de conducción han huido y formado el gas de electrones libres. Las frecuencias de resonancia de los electrones restantes se encuentran usualmente en el ultravioleta y por tanto no contribuyen a ningún color. En cobre y en oro en cambio, los electrones ligados son parte de una capa incompleta y tienen resonancias en el azul-violeta que conducen a absorción. Como resultado, el cobre y el oro tienen una apariencia amarillo-rojiza.

Muchos fenómenos de color no han sido tratados aquí: el color de películas delgadas, de materiales fluorescentes, de la luz emitida por flamas, o descargas eléctricas como se producen en tubos neón y muchos otros. Hemos tomado sólo las características más comunes de los objetos coloreados para proveer algún indicio de los procesos ópticos que ocurren en la superficie de la cosas cuando son iluminadas por la luz y vistas por nuestros ojos.

Figura 10 LA REFLECTIVIDAD DE LOS OBJETOS "NEGROS" puede variar considerablemente. La capacidad de absorción de la luz de tres superficies negras se demuestra al hacer incidir una banda de luz brillante y uniforme sobre ellas: una banda de papel recubierto con tinta negra (izquierda), un pedazo de terciopelo negro (en medio) y los extremos de una pila de navajas (derecha). Aún cuando los filos de las navajas están altamente pulidos, tienden a absorber la luz en lugar de reflejarla. La última foto muestra la pila de navajas de lado. Esta trampa de luz consiste de aproximadamente 200 navajas unidad de manera compacta. La luz que entra entre los filos se refleja muchas veces por lo que la mayoría de la luz es absorbida antes de poder escapar.